Ayrıca bazı vektörlerin gerdiği düzlemleri de görmüştük. -There was also the cases where we had the planes spanned by some vectors.
Bunu r2 düzleminde yapacağım.I'll deal in r2.
Bakalım bunların hepsi r2 düzleminden mi.Well, let's see if it's all of r2.
Öncelikle üç koordinat düzlemi çiziyorum. Bu ilk x ve y eksenim, x ve y.linear equations, x and y.
Burada bir koordinat düzlemimiz var.We have our coordinate plane over here.
(o,-4) noktası bu düzlemin üzerinde.So the point 0, negative 4 on this graph.
Burada gördüğünüz, az önceki kolonun kuş bakışı düzlemden X-Ray'i.What you're looking at here is an X-ray of the column that you just saw, viewed from the top.
Koordinat düzleminde, bu noktaları yerlerine yerleştirip bir grafik çizebiliriz.What we can do now is actually graph those points on a coordinate axis.
Bu benim xy düzlemim. -So that's my x-axis, y-axis, z-axis. x, y, z.
Birinci çeyrek düzlemde çiziyorum.I'll just draw the first quadrant.
İki vektöründe bu çeyrek düzlemde olduğunu varsayıyorum.I'll just assume both sectors are in the first quadrant.
(-7,7) noktası koordinat düzleminin hangi bölgesindedir?In which quadrant is the point -7, 7 located?
Hadi düzlem bölgelerini hatırlayalım.So let's just review what a quadrant is
Koordinat düzleminin tam bu tarafında olmalı.We're going to be on this of the coordinate plane.
Ve fark ettiyseniz B noktasıyla aynı düşey düzlemde.3 comma 3. Both x and y are positive.
Noktamız bu nokta ile aynı düşey düzlemde olmak zorunda.Now we have to figure out the last point here.
Koordinat düzleminde n adet noktamız olduğunu düşünelim. -So what we're going to think about here is, let's say we have n points on a coordinate plane.
Bu, x y düzleminde bir vektör alanı.This is just a vector field over the x-y plane.
Onları ses düzlemindeki haritasını çıkardık. Bu şekilde size şarkı söylüyorlar.We've mapped them into the audio domain, so they're singing to you.
Birinci çeyrek düzleme odaklanıyorum. x ekseni, y ekseni. -So let me graph it. I want to focus on the first quadrant, so that's my x-axis.
Ancak bu düzleme dik bir düzlemde olabilir. -It's 3/2 newtons times 10 meters.
Üst yüzey ve x y düzlemi arasındaki hacim.Between this surface, the top surface, and the xy-plane.
Yani eğer bu yüzeyimizse, bu üç noktayı birleştiren düzlemimiz olur. -So if that's our surface, so it would be the plane that connects these three points.
Yani burası, bu düzlemin üst, sağ, yukarı oktantla kesişimi. -And so this is kind of the intersection of this plane with this top, right, up octant.
Ama düzlemin sonsuzluğa kadar gittiğini akılda tutmak önemli. - -But it's important to keep in mind that the plane just keeps going.
Ve üçüncü boyuttaki bir düzlem üç nokta ile tanımlanır.And a plane in 3 dimensions is defined by three points.
Ama bu düzlem her yönde gitmeye devam ediyor. -But this plane just keeps going in each direction.
Eğer üçüncü bir denklem veya düzlem katacak olursak-- -But it turns out, if we were to throw in a third plane in there, or a third equation.
Ama şimdi, bu düzlem bu doğruyu kesecek. -But now, this plane is going to intersect this line.
Burada yapmaya çalıştığımız şey bu üç düzlemin nerede kesiştiğini bulmak.And so you're actually trying to figure out where three planes in three dimensions intersect.
Bunun gibi görünebilir - düzlemin sadece bir kısmını çiziyorum.It might look something like that. (I'm just drawing part of the plane.)
Ve belki de bu ikinci düzlem ilkiyle burada kesişiyordur.And maybe this plane over here.
Ve belki de bu üçüncü düzlem böyle görünüyordur.And maybe this plane over here, maybe it does something like this.
Diğer iki düzlemi buradan ve buradan kesiyordur.Maybe it intersects over here and over here.
Ve üçüncü bir düzlem de buradan keser.And then maybe the third plane cuts in.
Ve o nokta bu üç düzlemin kesişimidir. -And that point is essentially the intersection of these three planes.
Ve oda bütün üç boyutlu denklem bu üç düzlemin üstünde. -And that's the unique point in three-dimensional space that lies on all three of these planes.
Veya bu üç düzlemin kesiştiği noktada.Or the unique point where these three planes intersect.
Bu durumda eğik atış hareketini bu düzlemden başlatacağımSo in this situation I am going to launch the projectile off of a platform
Ve diğer düzleme gidecek.Sonra topu yaklaşık olarak 53 derece gibi bir açıyla ateşliyorum.And then it is going to land on another platform
Evet, burası hız vektörünün yatay düzlemle yatığı 53 derecelik açının tam karşısı.Well, this is the opposite side
Eğer yatay bileşenin uzunluğunu bulacak olursak, yatay düzlem hipotenüsün komşusudur. -Now if we want to do the horizontal component the horizontal side is adjacent to this
Tüm bu doğrular aynı düzlemde.They are in the plane of the screen your viewing right now.
Ekranda gördüğünüz düzlemde.But they are two lines that never intersect.
Üç boyutta düzlemler olarak gözünüzde canlandırırsanız, bu düzlemler birbirine paraleldir.If you visualize them in three-dimensions, they are actually parallel planes.
Bunu belirttikten sonra, bir tablo oluşturalım ve noktaları düzleme yerleştirelim. -I get x. Now that that is out of the way,
Yatay düzlemdeki değişimimiz +3'tür.So this right here is +3.
Peki dikey düzlemde yani y değerinin değişimi kaçtır?That's our run. But what's our rise?
Biraz daha karmaşık hale getirelim. Yüzeyle, z eşittir 2 düzlemi arasındaki hacmi bulalım. -Let's say the volume above this surface, and the surface z is equal to 2.
Bu, zy düzlemi üzerinde.So this is along the zy plane.
Yukarı 2 çıkarsak, bu, zx düzlemi üzerinde. -We'll go up 2 here, and this is along the zx plane.
Bu yeşil üçgen, z eşittir 2 düzleminin bir alt kümesi. - -So this green triangle, this is part of the plane z is equal to 2.
Ve tabanı, koyu pembeyle çizersem, bu düzlem olacak. -And then the base of it, the base I'll do in magenta will be this plane.
Şuradaki düzlem, z eşittir 2. -That's this plane, this surface right here. Z is equal to 2.
Bu düzlem, üst sınırımız.The top boundary is that plane.
Yüzeyimin xy düzlemine izdüşümünü çizeyim. -Let me draw the projection of our volume onto the xy plane, and what does that look like?
- xy düzlemi. -The xy-axis.
Dolayısıyla, xy düzleminde şöyle bir şey çizebilirim. -So on the xy-axis, kind of the domain -- you can view it that -- looks something like that.
Şimdi, tanım kümesi xy düzlemi.Now our domain is the xy plane.
Yükseklik de xy düzleminde nerede olduğumuzu gösteren bir fonksiyondur.And the height is a function of where we are in the xy plane.