Matris toplamı, matrisin skalerle çarpımı veya iki transformasyonun toplamı. -Matrix addition, or matrix scalar multiplication, or the addition of two transformations.
- İlk türevimiz için basit bir matris ile, değerler matrisi ile, başlayalım.So for our first derivation let's start with a simple matrix, a matrix of values.
Matris toplamayı öğrendik,matris çıkarmayı da. matris çarpmayı da.We've learned about matrix addition, matrix subtraction, matrix multiplication.
Şimdi merak ediyor olabilirsiniz,acaba matris bölmesi diye birşey var mı diye?So you might be wondering, is there the equivalent of matrix division?
Bu kavramla tanışmadan önce size birim matrisi anlatacağım.So before we introduce that, I'm going to introduce you to the concept of an identity matrix.
Birim matrisi bir matrisdir.So an identity matrix is a matrix.
Ya da bir matrisi birim matrisi ile çarparsam yine aynı matrisi elde ederim.Or when I multiply that matrix times the identity matrix, I get the matrix again.
Ve matris çarpması yaparken yönün önemli olduğunu unutmayın.And it's important to realize when we're doing matrix multiplication, that direction matters.
Neyse eğer kare matrislerle uğraşıyorsak her iki yönde de yapabiliriz.But anyway, and this works both ways only if we're dealing with square matrices.
Neyse bu matrisi tanımladım.But anyway, I've defined this matrix.
Bu matris neye benziyor? r.Aslında bayağı basit.Now what does this matrix actually look like? It's actually pretty simple.
Eğer 2 ye 2 bir matrisimiz varsa birim matris 1,0,0,1 olur.If we have a 2x2 matrix, the identity matrix is 1, 0, 0, 1.
Eğer 4 e 4 istiyorsanız birim matris 1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1.If you want a 4x4, the identity matrix is 1, 0, 0, 0 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1.
Bu matrisi alalım ve bir başka matrisle çarpalım. -Let's take this matrix and multiply it times another matrix.
Ve ilk matrisin değişmediğini gösterelim.And confirm that that matrix doesn't change.
Ve onu çarpalım--genel bir matris yazalım.Let's multiply it times-- let's do a general matrix.
Aslında daha da iyisi bunu 3 e 3 bir matrisle yapmak. -And actually it's an even better exercise to try this with a 3x3.
Bunun matris için bir uyarlaması var mı?So is there a matrix analogy?
Birim matrisle kaldım.Where I'm left with the identity matrix?
A çarpı Anın tersinin de birim matrise eşit olması gerekir -So A times A inverse should also be equal to the identity matrix.
Ve böyle bir matris var ve A nın tersi deniyor.And it turns out there is such a matrix.
5 e 5 de matrisin tersini bulurken mutlaka bir dikkat hatası yapılır.5x5, you're almost definitely going to do a careless mistake if you did the inverse of a 5x5 matrix.
Neyse matrisi nasıl bulacağız.But anyway, how do we calculate the matrix?
Matrisi bulduktan sonra gerçekten tersi olduğunu doğrulamalıyız.So let's do that, and then we'll confirm that it really is the inverse.
A matrisim olsun ve elemanları a,b,c,d olsun.So if I have a matrix A, and that is a, b, c, d.
Bu sayı ,ad eksi bc ye A matrisinin determinantı denir.And this quantity down here, ad minus bc, that's called the determinant of the matrix A.
Bu 1 bölü determinantı bir matrisle çarpıcaz.And we're going to multiply that.
Ve bunu çarpacağımız matrisi şöyle buluruz: Önce a ile d nin yerini değiştireceğiz.And we're going to multiply that by-- you switch the a and the d.
Önce harfleri değiştirelim,böylece her zaman matrise A denilmeyeceğini anlarsınsz.So let's change letters, just so you know it doesn't always have to be an A.
Farzedelim ki bir matris B var.Let's say I have a matrix B.
Bu matrisin elemanları ise--gelişigüzel söylicem-- 3, eksi dört,2,eksi 5 .And the matrix B is 3-- I'm just going to pick random numbers-- minus 4, 2 minus 5.
B nin tersi eşittir 1 bölü B nin determinantı çarpı bir matris. --So B inverse is going to be equal to 1 over the determinant of B.
Bunun gerçekten B matrisinin tersi olduğunu doğrulayalım. -But let's confirm that this really is the inverse of the matrix B.
Ve bu da çarpım matrisi olacak.And this is going to be the product matrix.
Bu matrisin tersini aldık.We've actually managed to inverse this matrix.
Neyse 2 ye 2 bir matrisin tersi böyle bulunuyor. -But anyway, that is how you calculate the inverse of a 2x2.
Ayrıca h'nin f ile bileşimini alırsak, X kümesinin birim matrisini almamız gerekir. .Then if I take the composition of h with f, I have to get the identity matrix on the set X.
Bir fonksiyonun, tersiyle bileşimi, X'in birim matrisi olur. .The composition of the inverse with the function has to become the identity matrix on x.
Birkaç videoda bir matrisin sütun uzayının ne kadar kolay bulunduğunu görmüştük. -We've seen in several videos that the column space of a matrix is pretty straightforward to find.
Matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmiş olduk. -And there we've actually put our matrix in reduced row echelon form.
A'nın satır indirgenmiş basamak matrisine R diyeyim. -So this is let me just say the reduced row echelon form of A. Let me just call that matrix R.
R matrisi böyle.So this is matrix R right there.
R matrisinde neyi gözlemliyoruz?Now what do we see about matrix R?
Satır indirgenmiş basamak matristeki pivot elemanlara bakın, yani şu üç eleman. -You look at the pivot entries in the reduced row echelon form of A, and that's those three.
A'yı satır indirgenmiş basamak matris haline çevirip pivot sütunları buluyoruz. -Take A, put it into reduced row echelon form, see which columns are pivot columns.
A matrisindeki aynı sütunlar, sütun uzayının doğurayını oluşturuyor. -The corresponding columns are going to be a basis for your column space.
Matrisin rankını bulmak istiyorsanız da, doğuray vektörlerini sayarsınız. -If you want to know the rank for your matrix, you can just count them.
Bir önceki videoda tersi olan bir matrisin tersini bulmak için bir yöntem bulmuştuk. -In the last video, we stumbled upon a way to figure out the inverse for an invertible matrix.
Bir önceki videodaki matrisi kullanacağım. -I'm going to use the same matrix that we started off with in the last video.
Bu, iyi bir matris örneği gibi duruyor.It seems like a fairly good matrix.
Satır indirgenmiş basamak matrisinin birim matris olduğunu biliyoruz, yani tersi var. -We know that it's reduced row echelon form is the identity matrix, so we know it's invertable.
Burada arttırılmış bir matris oluşturuyorum. -So I'll create an augmented matrix here. Maybe I'll do it right here.
Ve birim matrisle arttırıyorum, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1. -And then I'll augment it with the identity matrix, with 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1.
Şimdi bunu satır indirgenmiş basamak matris haline çeviriyorum. İkinci satırı değiştirebilirim.Now, if I want to get a into reduced row echelon form, maybe I'll replace the second row.
Bu, tanımsal olarak, birim matris. -1 minus 2 times 0 is 0.
Bu şekilde arttırılmış matrisin A kısmını satır indirgenmiş basamak matris haline çevirmiş olduk. -And just like that, we've gotten the A part of our augmented matrix into reduced row echelon form.
Bu, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisi.This is the reduced row echelon form of A.
Burada A matrisi var.So I have this matrix here, this matrix A.
A'nın boşuzayı, A'nın satır indirgenmiş basamak matrisinin boşuzayına eşit. -The null space of A is equal to the null space of the row, the reduced row echelon form of A.
Ve, arttırılmış matrisi satır indirgenmiş basamak matris haline getiriyoruz, ama 0'lar değişmiyor. -And you put the augmented matrix in reduced row echelon form, but the 0's never change.